Question

（1）已知cosα=

1

7

，cos(α-β)=

13

14

，且0＜β＜α＜

π

2

，求β的值．
（2）已知A+B=

π

4

，求證：（1+tanA）（1+tanB）=2．

Answer 1

分析：（1）由β=α-（α-β）得cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β），求出sinα、sin（α-β），即可求β的值；
（2）利用和角的正切公式，化簡可得結論．

解答：（1）解：由cosα=

1

7

，0＜α＜

π

2

，得sinα=

1-cos2α

=

1-( 1 7 )2

=

4 3

7

，
由0＜β＜α＜

π

2

，得0＜α-β＜

π

2

．
又∵cos（α-β）=

13

14

，
∴sin（α-β）=

1-cos2(α-β)

=

3 3

14

…．（3分）
由β=α-（α-β）得
cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=

1

7

×

13

14

+

4 3

7

×

3 3

14

=

1

2

，…．（6分）
∴β=

π

3

．…..…（8分）
（2）證明：∵A+B=

π

4

，∴tan(A+B)=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=1，
得tanA+tanB=1-tanAtanB，…（10分）
∴1+tanA+tanB+tanAtanB=2，
∴（1+tanA）（1+tanB）=2…（12分）

點評：本題考查角的變換，考查同角三角函數關系，考查和角的正切公式，考查學生的計算能力，正確進行角的變換是關鍵．