Question

在區(qū)間D上，如果函數(shù)f（x）為增函數(shù)，而函數(shù)為減函數(shù)，則稱函數(shù)f（x）為“弱增”函數(shù)．已知函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]上是否為“弱增”函數(shù)；
（2）設(shè)x₁，x₂∈[0，+∞），x₁≠x₂，證明；
（3）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a，b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）顯然f（x）在區(qū)間（0，1]為增函數(shù)，化簡(jiǎn)的解析式為，顯然是減函數(shù)，可得f（x）在區(qū)間（0，1]為“弱增”函數(shù)．
（2）化簡(jiǎn)|f（x₂）-f（x₁）|的解析式為，由，即可證得命題成立．
（3）當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，不等式等價(jià)于：，由為減函數(shù)，可得，從而求得實(shí)數(shù)a，b的取值范圍．
解答：解：（1）顯然f（x）在區(qū)間（0，1]為增函數(shù)，
∵，
∴為減函數(shù)．∴f（x）在區(qū)間（0，1]為“弱增”函數(shù)．
（2），
∵x₁，x₂∈[0，+∞），x₁≠x₂，，
∴|f（x₂）-f（x₁）|．
（3）∵當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，不等式恒成立． 當(dāng)x=0時(shí)，不等式顯然成立．
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)．等價(jià)于：，
由（1）為減函數(shù)，，∴．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，不等式的證明，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，得到當(dāng)x∈（0，1]時(shí)．等價(jià)于：，是解題的難點(diǎn)．