Question

（本小題滿分12分）
如圖，邊長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為CC₁的中點．

（1）求直線A₁E與平面BDD₁B₁所成的角的正弦值
（2）求點E到平面A₁DB的距離

Answer 1

（1）．（2）即點到平面的距離為．

試題分析：以DA、DC、DD₁所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系如圖，

則D（0，0，0），A（a，0，0）．B（a，a，0），C（0，a，0），E（0，a，），A₁（a，0，a）． …………3分
（1）設直線A₁E與平面BDD₁B₁所成的角為．
因為AC平面BDD₁B₁，所以平面BDD₁B₁的法向量為
，又．

所以 ．……………………………………………………………………6分
（2）設=為平面A₁DB的法向量，
，  ………………………………………8分
 又 ………………………11分
即點到平面的距離為．…………………………………………………12分
點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，（2）小題，將立體問題轉化成平面問題，這也是解決立體幾何問題的一個基本思路。應用空間向量，則可使問題解答得以簡化。