Question

【題目】某工藝品廠要設計一個如圖Ⅰ所示的工藝品，現有某種型號的長方形材料如圖Ⅱ所示，其周長為4m，這種材料沿其對角線折疊后就出現圖Ⅰ的情況．如圖，ABCD（AB＞AD）為長方形的材料，沿AC折疊后AB'交DC于點P，設△ADP的面積為
S2 ， 折疊后重合部分△ACP的面積為S1 ．
（Ⅰ）設AB=xm，用x表示圖中DP的長度，并寫出x的取值范圍；
（Ⅱ）求面積S2最大時，應怎樣設計材料的長和寬？
（Ⅲ）求面積（S1+2S2）最大時，應怎樣設計材料的長和寬？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意，AB=x，BC=2﹣x，因為x＞2﹣x，故1＜x＜2．
設DP=y，則PC=x﹣y，
因為△ADP≌△CB'P，故PA=PC=x﹣y，
由PA2=AD2+DP2 ， 得（x﹣y）2=（2﹣x）2+y2 ， ．
（Ⅱ）記△ADP的面積為S2 ， 則
= ，
當且僅當 時，S2取得最大值．
故當材料長為 ，寬為 時，S2最大．（Ⅲ） ，1＜x＜2．
于是 ，∴ ．
關于x的函數（S1+2S2）在 上遞增，在 上遞減，
所以當 時，S1+2S2取得最大值．
故當材料長為 m，寬為 m時，S1+2S2最大
【解析】（Ⅰ）設AB=xm，利用△ADP≌△CB'P，故PA=PC=x﹣y，結合PA2=AD2+DP2 ， 即可用x表示圖中DP的長度，并寫出x的取值范圍；（Ⅱ）利用基本不等式求面積S2最大時，設計材料的長和寬；（Ⅲ）求面積（S1+2S2），利用導數確定函數的單調性，即可得出最大時，設計材料的長和寬．