Question

【題目】已知奇函數.

（1）求實數的值，并畫出函數的圖象；

（2）若函數在區間上是增函數，結合函數的圖象，求實數的取值范圍；

（3）結合圖象，求函數在區間上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】(1) m＝2. (2) (1,3]．（3）最大值是1，最小值是－1.

【解析】

試題（1）根據奇函數定義得f(－x)＝－f(x)代入可得m＝2通過描點可得函數f(x)的圖象；（2）根據圖像可得[－1，a－2]為[－1,1]一個子集，結合數軸可得實數a滿足的條件，解不等式可得a的取值范圍（3）根據圖像可得最高點與最低點，對應求出最大值和最小值．

試題解析：解：(1)當x<0時，－x>0，

則f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.

又∵函數f(x)為奇函數，

∴f(－x)＝－f(x)．

∴f(x)＝－f(－x)＝－(－x2－2x)＝x2＋2x.

又∵當x<0時，f(x)＝x2＋mx，

∵對任意x<0，總有x2＋2x＝x2＋mx，∴m＝2.

函數f(x)的圖象如圖所示．

(2)由(1)知f(x)＝

由圖象可知，函數f(x)的圖象在區間[－1,1]上的圖象是“上升的”，

∴函數f(x)在區間[－1,1]上是增函數．

要使f(x)在[－1，a－2]上是增函數，

需有解得1<a≤3，

即實數a的取值范圍是(1,3]．

(3)由圖象可知，函數f(x)的圖象在區間[－2,2]上的最高點是(1，f(1))，最低點是(－1，f(－1))．

又因為f(1)＝－1＋2＝1，f(－1)＝1－2＝－1，所以函數f(x)在區間[－2,2]上的最大值是1，最小值是－1.