Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|ax﹣1|
（1）若f（x）≤2的解集為[﹣3，1]，求實數(shù)a的值；
（2）若a=1，若存在x∈R，使得不等式f（2x+1）﹣f（x﹣1）≤3﹣2m成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：顯然a≠0，當a＞0時，解集為：[ ， ]，﹣ ， ，無解；

當a＜0時，解集為：[ ，﹣ ]，令﹣ =1， ，解得a=﹣1，

綜上a=﹣1．

（2）解：a=1時，令h（x）=f（2x+1）﹣f（x﹣1）=|2x|﹣|x﹣2|= ，

由此可知，h（x）在（﹣∞，0]，上是單調(diào)遞減，

在[0，+∞）上單調(diào)遞增，則x=0時，h（x）取得最小值﹣2，

由題意可知﹣2≤3﹣2m，則實數(shù)m的取值范圍是（﹣∞， ]．

【解析】（1）利用絕對值不等式的解集，列出方程求解即可．（2）利用a=1，若存在x∈R，使得不等式f（2x+1）﹣f（x﹣1）≤3﹣2m成立，化簡函數(shù)的解析式，通過函數(shù)的最小值以及函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式，求解即可．
【考點精析】關(guān)于本題考查的絕對值不等式的解法，需要了解含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對值的符號才能得出正確答案．