Question

已知拋物線的焦點為，準線為，點為拋物線C上的一點，且的外接圓圓心到準線的距離為．

（I）求拋物線C的方程；

（II）若圓F的方程為，過點P作圓F的2條切線分別交軸于點，求面積的最小值時的值．

 

Answer 1

【答案】

（I）；（II）.

【解析】

試題分析：（I）先求圓心縱坐標，再由圓心到準線的距離，可求的值，從而得拋物線的方程；（II）先設過點斜率存在的直線方程，根據直線與圓相切，可得兩切線的斜率關系，然后得兩點坐標，可得，然后再求三角形PMN的面積，再利用導數判斷面積的單調性而求最小值，再得的值.

試題解析：（I）的外接圓的圓心在直線OF，FP的中垂線交點上，且直線OF的中垂線為直線，則圓心的縱坐標為，                   1分

故到準線的距離為.          2分

從而p=2，即C的方程為.                  5分

（II）設過點P斜率存在的直線為，則點F(0，1)到直線的距離

。                7分

令d=1，則，所以。

設兩條切線PM，PN的斜率分別為，則

，，             9分

且直線PM：，直線PN：，故，

因此  11分

所以               12分

設，則

令，則 .

在上單點遞減，在上單調遞增，因此

從而，此時．  15分

考點：1、拋物線的方程及性質；2、直線與圓的位置關系；3、直線與拋物線相交及與導數的綜合應用