Question

（2006•東城區(qū)二模）已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AD=1，AB=2，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)．
（1）求證：AF∥平面PEC；
（2）求PC與平面ABCD所成角的大小；
（3）求二面角P-EC-D的大小．

Answer 1

分析：（1）取PC的中點(diǎn)H，連接FH，EH，證明四邊形AEHF是平行四邊形，然后利用直線與平面平行的判定定理證明AF∥平面PEC；
（2）連接AC，說(shuō)明PC與平面ABCD所成的角的大小，就是∠PCA；在Rt△PAC中，求PC與平面ABCD所成的角的大小；
（3）延長(zhǎng)CE至O，使得AO⊥CE于O，連接PO，說(shuō)明∠POA就是二面角P-EC-D的大小，利用三角形相似，求出AO，在Rt△PAO中，求出二面角P-EC-D的大小．

解答：解：（1）取PC的中點(diǎn)H，連接FH，EH，
因?yàn)镋、F分別是AB、PD的中點(diǎn)．
所以FH∥DC，F(xiàn)H=

1

2

DC，又AB∥DC，
∴FH∥AE，并且FH=AE．
∴四邊形AEHF是平行四邊形，
∴AF∥EH，∵EH?平面PEC，AF?平面PEC，
所以AF∥平面PEC；
（2）連接AC，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，
所以PC與平面ABCD所成的角的大小，就是∠PCA；
因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，PA=AD=1，AB=2，
所以AC=

12+22

=

5

，
在Rt△PAC中∴tan∠PCA=

PA

AC

=

1

5

=

5

5

，
∠PCA=arctan

5

5

．
（3）延長(zhǎng)CE至O，使得AO⊥CE于O，
連接PO，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，
所以∠POA就是二面角P-EC-D的大小，
在Rt△AOE與Rt△EBC中，易得
Rt△AOE∽R(shí)t△EBC，
所以

AO

BC

= 

AE

EC

，EC=

EB2+BC2

=

2

，
所以AO=AO=

AE•BC

EC

=

1×1

2

=

2

2

，
在Rt△PAO中，tan∠POA=

PA

AO

=

1

2 2

=

2

，
所以所求的二面角P-EC-D的大小為：arctan

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查直線與平面的平行，直線與平面所成的角的大小，二面角的大小的求法，正確作出有關(guān)的角是解題的關(guān)鍵，考查定理的應(yīng)用，空間想象能力，計(jì)算能力．