Question

設函數y=f（x）是定義在R₊上的函數，并且滿足下面三個條件：
（1）對任意正數x、y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）當x＞1時，f（x）＜0；
（3）f（3）=﹣1，
（I）求f（1）、的值；
（II）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范圍．
（III）如果存在正數k，使不等式f（kx）+f（2-x）＜2有解，求正數k的取值范圍．

Answer 1

解：（I）令x=y=1易得f（1）=0．
而f（9）=f（3）+f（3）=﹣1﹣1=﹣2 且，
得．
（II）設0＜x₁＜x₂＜+∞，
由條件（1）可得，
因，由（2）知，
所以f（x₂）＜f（x₁），
即f（x）在R₊上是遞減的函數．
由條件（1）及（I）的結果得：其中0＜x＜2，
由函數f（x）在R₊上的遞減性，可得：，
由此解得x的范圍是．
（III）同上理，不等式f（kx）+f（2﹣x）＜2可化為且0＜x＜2，
得，
此不等式有解，等價于，
在0＜x＜2的范圍內，易知x（2﹣x）_max=1，
故即為所求范圍．