Question

已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若方程有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若存在實(shí)數(shù)，使成立，求證：．

Answer 1

（1）遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）;（3）詳見解析.

試題分析:（1）對(duì)求導(dǎo)可得，令，或，由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系可知，所以遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；
（2）若方程有解有解，令，則原問題轉(zhuǎn)化為求g（x）的值域，而m只要再g（x）的值域內(nèi)即可。故對(duì)g（x）求導(dǎo)，則令，，所以在遞增，在遞減，，故;
（3）根據(jù)的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造輔助函數(shù)，則由（2）知，在遞增，在遞減，由條件有，不妨設(shè)，則必有，于是，再利用反證法證明，假設(shè)，則，
即，令，則有，即 （*），、令.，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240345410521213.png" style="vertical-align:middle;" />恒成立，所以在上是增函數(shù)，所以，所以在上是減函數(shù)，故,時(shí)，，這與（*）矛盾！所以原不等式得證，即．
試題解析：解：（1），        1分
令，或             3分
所以遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為          4分
（2），令，則
令，，
所以在遞增，在遞減，                    6分
，故                       8分
(3)令，則由（2）知，在遞增，在遞減.
由條件有，不妨設(shè)，則必有，于是        9分
假設(shè)，則，
即，令，
則有，即 （*），
令.，      11分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240345410521213.png" style="vertical-align:middle;" />恒成立，所以在上是增函數(shù)，
所以，所以在上是減函數(shù)，
故,時(shí)，，這與（*）矛盾！
所以原不等式得證，即．    13分