Question

已知函數f(x)=(t∈R)在［1,2］上的最小值為,P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂)是函數f(x)=圖象上不同兩點,且線段P₁P₂的中點P的橫坐標為.

(1)求t的值;

(2)求證:點P的縱坐標是定值;

(3)若數列{a_n}的通項公式為a_n=f()(m∈N^*,n=1,2,…,m),求數列{a_n}的前m項和S_m.

Answer 1

(1)解:當t＞0時,f(x)在［1,2］上單調遞減,又f(x)的最小值為,∴f(2)=,得t=1.

當t＜0時,f(x)在［1,2］上單調遞增,又f(x)的最小值為,∴f(1)=,得t=2(舍去);

當t=0時,f(x)=(舍去),∴t=1,f(x)=.

(2)證明:∵x_P=,∴x₁+x₂=1.

而y₁+y₂=+==

==.∴y₁+y₂=，即P點的縱坐標為定值.

(3)解:由(2)可知,f(x)+f(1-x)=,∴f()+f(1)=(1≤n≤m-1),即f()+f()=,

∴a_n+a_m-n=.而a_m=f(1)=,

由S_m=a₁+a₂+a₃+…+a_m-1+a_m,①得S_m=a_m-1+a_m-2+a_m-3+…+a₁+a_m,②

由①+②,得2S_m=(m-1)×+2a_m=+2×=.∴S_m=(3m-1)(m∈N^*).