Question

【題目】已知函數

（1）當a=1時,求函數f（x）在[1,e]上的最小值和最大值;

（2）當a≤0時,討論函數f（x）的單調性;

（3）是否存在實數a,對任意的x1,x2（0,+∞）,且x1≠x2,都有恒成立.若存在,求出a的取值范圍;若不存在,說明理由.

Answer 1

【答案】（1）最小值為f（2）=-2ln2，最大值為；（2）①當時，f（x）在（0，-a）上是增函數，在（-a,2）上是減函數，在上是增函數；②當a=-2時，在上是增函數； 時， 則f（x）在（0，2）上是增函數，在（2，-a）上是減函數，在上是增函數；（3）．

【解析】試題分析：（1），可求得，由確定增區間， 確定減區間，求出極值，并與比較得最大值和最小值；（2）求出函數定義域為，求出導數，分類， ， ，然后可分別確定單調區間；（3）這是探究性命題，可假設存在實數a, 對任意的x1,x2（0,+∞）,且x1≠x2,都有恒成立，不妨設，不等式可變為，此不等式成立，只要函數為增函數即能滿足．

試題解析：（1）當a=1時， .

則.

∴當時， 當時，

∴f（x）在（1,2）上是減函數，在（2，e）上是增函數．

∴當x=2時，f（x）取得最小值，其最小值為f（2）=-2ln2.

又,

, ∴

∴. …………4分

（2） f（x）的定義域為，

．

①當時，

f（x）在（0，-a）上是增函數，在（-a,2）上是減函數，在上是增函數．

②當a=-2時，在上是增函數．

③時， 則f（x）在（0，2）上是增函數，在（2，-a）上是減函數，

在上是增函數．

（3） 假設存在實數a, 對任意的x1,x2（0,+∞）,且x1≠x2,都有恒成立

不妨設, 若，即.

令g（x）=f（x）-ax= -ax=.

只要g（x）在（0,+∞）為增函數

要使在（0,+∞）恒成立，只需-1-2a≥0， .

故存在滿足題意．