【題目】在一場娛樂晚會上，有5位民間歌手（1至5號）登臺演唱，由現場數百名觀眾投票選出最受歡迎歌手.各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機選2名.觀眾乙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中隨機選3名歌手.
（1）求觀眾甲選中3號歌手的概率；
（2）
表示3號歌手得到觀眾甲、乙的票數之和，求
.
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）由于觀眾甲必選1，不選2，則觀眾甲選中3號歌手的概率為
.
（2）
表示觀眾甲、乙只有一人投票給3號歌手,分別求出觀眾甲投票給3號歌手,而乙沒有投票給3號歌手和觀眾乙投票給3號歌手,而甲沒有投票給3號歌手的投票方法總數，從而得出答案.
（1）設A表示事件“觀眾甲選中3號歌手”
觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，則觀眾甲選3名歌手有
種選法.
觀眾甲選中3號歌手有
種選法.
所以觀眾甲選中3號歌手的概率
（2）
表示3號歌手得到觀眾甲、乙的票數之和,
表示觀眾甲、乙只有一人投票給3號歌手.
觀眾甲投票給3號歌手,而乙沒有投票給3號歌手有
種
觀眾乙投票給3號歌手,而甲沒有投票給3號歌手有
種
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設四邊形
為矩形，點
為平面外一點，且
平面，若
，
.
（1）求
與平面
所成角的大小；
（2）在
邊上是否存在一點
，使得點
到平面
的距離為
，若存在，求出
的值，若不存在，請說明理由；
（3）若點
是
的中點，在
內確定一點
，使
的值最小，并求此時
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某年數學競賽請自以為來自X星球的選手參加填空題比賽，共10道題目，這位選手做題有一個古怪的習慣：先從最后一題（第10題）開始往前看，凡是遇到會的題就作答，遇到不會的題目先跳過（允許跳過所有的題目），一直看到第1題；然后從第1題開始往后看，凡是遇到先前未答的題目就隨便寫個答案，遇到先前已答的題目則跳過（例如，他可以按照9,8,7,4,3,2,1,5,6,10的次序答題），這樣所有的題目均有作答，設這位選手可能的答題次序有n種，則n的值為（ ）
A.512B.511C.1024D.1023
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，設銳角
的外接圓的半徑為
，在內取外接圓的同心圓
，其半徑為
，從圓上任取一點
，作
于點
，
于點
，
于點
．
（1）求證：
的面積為定值；
（2）猜想：當為任意三角形、同心圓為任意同心圓時，結論是否成立（不要求證明）？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在測試中，客觀題難度的計算公式為
，其中
為第
題的難度， 
為答對該題的人數， 
為參加測試的總人數．現對某校高三年級240名學生進行一次測試，共5道客觀題，測試前根據對學生的了解，預估了每道題的難度，如表所示：
題號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
考前預估難度 | 0.9 | 0.8 | 0.7 | 0.6 | 0.4 |
測試后，從中隨機抽取了20名學生的答題數據進行統計，結果如表：
（Ⅰ）根據題中數據，估計中240名學生中第5題的實測答對人數；
（Ⅱ）從抽樣的20名學生中隨機抽取2名學生，記這2名學生中第5題答對的人數為
，求
的分布列和數學期望；
（Ⅲ）試題的預估難度和實測難度之間會有偏差．設
為第
題的實測難度，請用
和
設計一個統計量，并制定一個標準來判斷本次測試對難度的預估是否合理．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某大型商場的空調在1月到5月的銷售量與月份相關，得到的統計數據如下表：
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷量 | 0.6 | 0.8 | 1.2 | 1.6 | 1.8 |
（1）經分析發現1月到5月的銷售量可用線性回歸模型擬合該商場空調的月銷量
（百件）與月份
之間的相關關系.請用最小二乘法求關于的線性回歸方程
，并預測6月份該商場空調的銷售量；
（2）若該商場的營銷部對空調進行新一輪促銷，對7月到12月有購買空調意愿的顧客進行問卷調查.假設該地擬購買空調的消費群體十分龐大，經過營銷部調研機構對其中的500名顧客進行了一個抽樣調查，得到如下一份頻數表：
有購買意愿對應的月份 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
頻數 | 60 | 80 | 120 | 130 | 80 | 30 |
現采用分層抽樣的方法從購買意愿的月份在7月與12月的這90名顧客中隨機抽取6名，再從這6人中隨機抽取3人進行跟蹤調查，求抽出的3人中恰好有2人是購買意愿的月份是12月的概率.
參考公式與數據：線性回歸方程，其中
，
.
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