Question

（2012•寶雞模擬）如圖，已知PA⊥平面ABC，且PA=

2

，等腰直角三角形ABC中，AB=BC=1，AB⊥BC，AD⊥PB于D，AE⊥PC于E．
（1）求證：PC⊥平面ADE；
（2）求點D到平面ABC的距離．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直的性質與判定，證明PC⊥平面ADE，證出PC⊥AD，PC⊥AE即可；
（2）過D點作DF⊥BA垂直為E，由題意知DF⊥面ABC，即DF為所求距離，利用三角形的相似，可得結論．

解答：（1）證明：因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，
又AB⊥BC，且PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB，
因為AD?平面PAB，所以BC⊥AD．…（3分）
又AD⊥PB，BC∩PB=B，所以AD⊥平面PBC，
因為PC?平面PBC，所以PC⊥AD，
又PC⊥AE，AD∩AE=A，所以PC⊥平面ADE．…（6分）
（2）解：過D點作DF⊥BA垂直為E，

由題意知DF⊥面ABC，即DF為所求距離．…（8分）
由題設得DF∥PA，所以△BDE∽△BAP，即DF=

BD•PA

PB

，
又∵△BDA∽△BAP，∴

BD

AB

=

AB

PB

即BD=

AB2

PB

=

3

3

，∴BD=

1

3

PB．
∴DF=

2

3

．…（11分）
即點D到平面ABC的距離為

2

3

．…（12分）

點評：本題考查線面垂直的性質與判定，考查點到面的距離，掌握線面垂直的性質與判定，作出點到面的距離的線段是關鍵．