Question

某校有教職工150人,為了豐富教工的課余生活,每天定時開放健身房和娛樂室.據調查統計,每次去健身房的人有10%下次去娛樂室,則在娛樂室的人有20%下次去健身房.請問,隨著時間的推移,去健身房的人數能否趨于穩定?

Answer 1

分析：本題考查用數列的遞推公式求通項及數列的極限.

解：設第n次去健身房的人數為a_n,去娛樂室的人數為b_n,則a_n+b_n=150, 

∴a_n=a_n-1+b_n-1=a_n-1+(150-a_n-1)=a_n-1+30,

即a_n=a_n-1+30.                

∴a_n-100=(a_n-1-100).于是a_n-100=(a₁-100)·()^n-1,即a_n=100+()^n-1·(a₁-100). 

∴a_n=100.故隨著時間的推移,去健身房的人數穩定在100人左右.