Question

【題目】已知橢圓C：（）的左、右焦點分別為，.橢圓C的長軸與焦距之比為，過的直線l與C交于A、B兩點.

（1）求橢圓的方程；

（2）當l的斜率為1時，求的面積；

（3）當線段的垂直平分線在y軸上的截距最小時，求直線l的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）12（3）.

【解析】

（1）根據已知條件求得，由此求得橢圓方程.

（2）求得直線的方程，聯立直線的方程和橢圓方程，求得兩點的縱坐標，由此求得三角形的面積.

（3）設出直線的方程，聯立直線的方程和拋物線方程，化簡后寫出韋達定理，求得線段中點的坐標，設線段的垂直平分線與y軸的交點為，根據求得關于的表達式，由此求得的最小值，以及此時的值，進而求得直線的方程.

（1）依題意，因，又，得，

所以橢圓C的方程為.

（2）設、，當時，直線l：，將直線與橢圓方程聯立，消去x得，，解得，，，

所以.

（3）設直線l的斜率為k，由題意可知，由，消去y得，恒成立，，

設線段的中點為，則，，

設線段的垂直平分線與y軸的交點為，則，得.

，整理得：，，等號成立時.故當截距m最小為時，，此時直線l的方程為.