Question

【題目】如圖，在四面體A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2 ．M是AD的中點，P是BM的中點，點Q在線段AC上，且AQ=3QC．

（1）證明：PQ∥平面BCD；
（2）若二面角C﹣BM﹣D的大小為60°，求∠BDC的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：取BD的中點O，在線段CD上取點F，使得DF=3CF，連接OP、OF、FQ

∵△ACD中，AQ=3QC且DF=3CF，∴QF∥AD且QF= AD

∵△BDM中，O、P分別為BD、BM的中點

∴OP∥DM，且OP= DM，結(jié)合M為AD中點得：OP∥AD且OP= AD

∴OP∥QF且OP=QF，可得四邊形OPQF是平行四邊形

∴PQ∥OF

∵PQ平面BCD且OF平面BCD，∴PQ∥平面BCD

（2）解：過點C作CG⊥BD，垂足為G，過G作GH⊥BM于H，連接CH

∵AD⊥平面BCD，CG平面BCD，∴AD⊥CG

又∵CG⊥BD，AD、BD是平面ABD內(nèi)的相交直線

∴CG⊥平面ABD，結(jié)合BM平面ABD，得CG⊥BM

∵GH⊥BM，CG、GH是平面CGH內(nèi)的相交直線

∴BM⊥平面CGH，可得BM⊥CH

因此，∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60°

設(shè)∠BDC=θ，可得

Rt△BCD中，CD=BDcosθ=2 cosθ，CG=CDsinθ=2 sinθcosθ，BG=BCsinθ=2 sin2θ

Rt△BMD中，HG= = ；Rt△CHG中，tan∠CHG= =

∴tanθ= ，可得θ=60°，即∠BDC=60°

【解析】（1）取BD的中點O，在線段CD上取點F，使得DF=3CF，連接OP、OF、FQ．根據(jù)平行線分線段成比例定理結(jié)合三角形的中位線定理證出四邊形OPQF是平行四邊形，從而PQ∥OF，再由線面平行判定定理，證出PQ∥平面BCD；（2）過點C作CG⊥BD，垂足為G，過G作GH⊥BM于H，連接CH．根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)證出BM⊥CH，因此∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60°．設(shè)∠BDC=θ，用解直角三角形的方法算出HG和CG關(guān)于θ的表達(dá)式，最后在Rt△CHG中，根據(jù)正切的定義得出tan∠CHG= = ，從而得到tanθ= ，由此可得∠BDC．