Question

已知拋物線C₁：x²=y，圓C₂：x²+(y－4)²=1的圓心為點M

(1)求點M到拋物線C₁的準線的距離；
(2)已知點P是拋物線C₁上一點（異于原點），過點P作圓C₂的兩條切線，交拋物線C₁于A，B兩點，若過M，P兩點的直線l垂直于AB，求直線l的方程

Answer 1

(1)
(2)見解析；

(1)由題意可知，拋物線的準線方程為：y=－所以圓心M（0，4）到準線的距離是
(2) 設P(x₀，x₀²)，A(x₁，x₁²)，B(x₂，x₂²)，
則由題意得x₀≠0，x₀≠±1，x₁≠x₂，
設過點P的圓C₂的切線方程為y－x₀²=k(x－x₀)，
即kx－y－kx₀ +x₀²=0          ①
則=1( x₀²－1)k²+2 x₀(4－x₀²)k+( x₀²－4)²－1=0，
設PA，PB的斜率為k₁，k₂(k₁≠k₂)，則k₁，k₂是上述方程的兩根，所以
k₁+k₂= ，k₁·k₂=
將①代入x²=y得x² –kx+kx₀－x₀²=0由于x₀是此方程的根，點A或B是過點P作圓C₂的兩條切線與拋物線C₁相交的交點
故，x₀+x₁=k₁，x₀+x₂=k₂ x₁=k₁－x₀，x₂=k₂－ x₀
所以k_AB= = x₁+x₂= k₁+k₂－2x₀=－2x₀
又K_MP=
∵MP⊥AB
∴k_AB·K_MP=[－2x₀]·（）=－1，
·=－1，解
∴即點P的坐標為（±，），K_MP==
所以直線l的方程為y=±x+4