Question

【題目】在三棱柱ABOA′B′O′中，∠AOB＝90°，側(cè)棱OO′⊥面OAB，OA＝OB＝OO′＝2.若C為線(xiàn)段O′A的中點(diǎn)，在線(xiàn)段BB′上求一點(diǎn)E，使|EC|最小．

Answer 1

【答案】當(dāng)z＝1時(shí)，|EC|取得最小值為 ，此時(shí)E(0,2,1)為線(xiàn)段BB′的中點(diǎn)

【解析】試題分析：先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，則根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得|EC|，最后根據(jù)二次函數(shù)最值求法得最小值

試題解析：解　

如圖所示，

以三棱原點(diǎn)，以OA、OB、OO′所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz．

由OA＝OB＝OO′＝2，得A(2,0,0)、B(0,2,0)、O(0,0,0)，A′(2,0,2)、B′(0,2,2)、O′(0,0,2)．

由C為線(xiàn)段O′A的中點(diǎn)得C點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0,1)，設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2，z)，

∴|EC|＝

＝．

故當(dāng)z＝1時(shí)，|EC|取得最小值為．

此時(shí)E(0,2,1)為線(xiàn)段BB′的中點(diǎn)．