Question

關于函數（x∈R）有下列命題：
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整數倍；
②y=f（x）的圖象可由y=2cos2x的圖象向右平移個單位得到；
③y=f（x）的圖象關于直線對稱；
④y=f（x）在區間上是減函數．
其中是假命題的序號有    ．

Answer 1

【答案】分析：先把f（x）化為f（x）=．
①根據f（x₁）=f（x₂）=0可得，對k討論即可；
②把f（x）向右平移個單位可得，再化簡比較即可；
③若y=f（x）的圖象關于直線對稱，則必有，否則關于直線不對稱；
④利用y=sinx在區間單調遞減進行判斷即可．
解答：解：∵f（x）===．
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得=0，
∴，．
∴2x₁-2x₂=（k₁-k₂）π，
∴．
當k=2n（n∈Z）時，x₁-x₂=nπ，此時x₁-x₂是π的整數倍；
當k=2n+1，（n∈Z）時，=，此時x₁-x₂不是π的整數倍；
故①不正確；
②由y=2cos2x的圖象向右平移個單位得到y==2=≠，故②不正確；
③==0≠±2，故y=f（x）的圖象關于直線不對稱，∴③不正確；
④∵，∴，∴函數f（x）=在區間上是減函數，∴④正確．
綜上可知：假命題是①②③．
故答案為①②③．
點評：正確理解函數y=Asin（ωx+φ）的對稱性、單調性和平移變換等性質是解題的關鍵．