Question

(本大題滿分14分)

已知數列和滿足：,，，其中為實數，為正整數.

（Ⅰ）對任意實數，證明:數列不是等比數列；

（Ⅱ）證明：當時，數列是等比數列；

（Ⅲ）設（為實常數）, 為數列的前項和.是否存在實數，使得對任意正整數，都有?若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

解： （Ⅰ）證明：假設存在一個實數，使｛a_n｝是等比數列，則有

即（）²=²矛盾.

所以｛a_n｝不是等比數列.                                       …… 4分

(Ⅱ)解：因為b_n+1=(-1)ⁿ⁺¹［a_n+1-3(n-1)+21］=(-1)ⁿ⁺¹(a_n-2n+14)

=-(-1)ⁿ·（a_n-3n+21）=-b_n  

當λ≠－18時，b₁=-(λ+18) ≠0,由上可知b_n≠0，∴(n∈N⁺).

故當λ≠-18時，數列｛b_n｝是以－（λ＋18）為首項，－為公比的等比數列…8分

（Ⅲ)由（2）知，當λ=-18,b_n=0,S_n=0,不滿足題目要求.      ……9分

∴λ≠-18，故知b_n= -（λ+18）·（－）^n-1，于是可得

S_n=--             ………10分

要使a<S_n<b對任意正整數n成立，

即a<-(λ+18)·［1－（－）ⁿ］<b(n∈N⁺) , 

當n為正奇數時，1<f(n)

∴f(n)的最大值為f(1)=,         f(n)的最小值為f(2)= ,     …………………………  12分

于是，由①式得

當a<b3a時，由，不存在實數滿足要求

當b>3a存在λ，使得對任意正整數n,都有a<S_n<b,且λ的取值范圍是）…14分

 

【解析】略