Question

已知中，頂點，邊上的中線所在直線的方程是，邊上高所在直線的方程是．
（1）求點、C的坐標； （2）求的外接圓的方程．

Answer 1

（1） （2）或

解析試題分析：（1）求,點就設,點的坐標,同時可以表示出的坐標,根據在上,且中點在上.兩式聯立可求出;根據在上,且得到,兩式聯立可求出.
（2）所求的圓經過三角形的三個頂點,所以設出圓的一般方程,將,,代入解方程組即可得到所求圓的方程.或者根據三角形的外接圓的圓心是各邊垂直平分線的交點，所以可以根據（1）中的,和已知的求兩個邊的垂直平分線,取其交點做圓心,該點到各個頂點的距離為半徑,求出圓的方程.
試題解析：（1）由題意可設,則的中點.
因為的中點必在直線上,代入有①
又因為在直線上，所以代入有②
由①②聯立解得.則,
因為在直線上，代入有③
又因為直線,所以有,則有④
根據③④有.
（2）因為三角形外接圓的圓心是各邊垂直平分線的交點，
所以找到三角形兩邊的垂直平分線求得的交點就是外接圓的圓心，該點到各頂點的距離就是半徑.
根據兩點,可得斜率為,所以中垂線斜率為,中點為,則中垂線為⑤
同理可得直線的中垂線為⑥,
由⑤⑥可得圓心，半徑為，所以外接圓為
法二：（2）設外接圓的方程為，其中。
因為三角形的個頂點都在圓上，所以根據（1），將三點坐標代入有：
         解得
∴外接圓的方程為．
考點：三角形中，中線，垂線與各邊，各個頂點的關系；外接圓的求法.