Question

設數列{a_n}(n＝1，2，…)是等差數列，且公差為d，若數列{a_n}中任意(不同)兩項之和仍是該數列中的一項，則稱該數列是“封閉數列”．

(1)若a₁＝4，d＝2，求證：該數列是“封閉數列”；

(2)試判斷數列a_n＝2n－7(n∈N^*)是否是“封閉數列”，為什么？

(3)設S_n是數列{a_n}的前n項和，若公差d＝1，a₁＞0，試問：是否存在這樣的“封閉數列”，使；若存在，求{a_n}的通項公式，若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：，1分 　　對任意的，有 　　，3分 　　∵m＋n＋1∈N*于是，令，則有5分 　　(2)，7分 　　令，9分 　　所以數列不是封閉數列；10分 　　(3)解：由是“封閉數列”，得：對任意，必存在使 　　成立，11分 　　于是有為整數，又是正整數．13分 　　若則，所以，14分 　　若，則，所以，16分 　　若，則，于是 　　，所以，17分 　　綜上所述，，顯然，該數列是“封閉數列”．18分