Question

甲、乙、丙、丁四個物體同時從某一點出發向同一個方向運動，其路程f_i（x）（i=1，2，3，4）關于時間x（x≥0）的函數關系式分別為f1(x)=2x-1，f2(x)=x2，f₃（x）=x，f₄（x）=log₂（x+1），有以下結論：
①當x＞1時，甲走在最前面；
②當x＞1時，乙走在最前面；
③當0＜x＜1時，丁走在最前面，當x＞1時，丁走在最后面；
④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；
⑤如果它們一直運動下去，最終走在最前面的是甲．
其中，正確結論的序號為

 

（把正確結論的序號都填上，多填或少填均不得分）．

Answer 1

分析：分別取特值驗證命題①②；對數型函數的變化是先快后慢，當x=1時甲、乙、丙、丁四個物體又重合，從而判斷命題③正確；指數函數變化是先慢后快，當運動的時間足夠長，最前面的動物一定是按照指數型函數運動的物體，即一定是甲物體；結合對數型和指數型函數的圖象變化情況，可知命題④正確．

解答：解：路程f_i（x）（i=1，2，3，4）關于時間x（x≥0）的函數關系是：
f1(x)=2x-1，f2(x)=x2，f₃（x）=x，f₄（x）=log₂（x+1），
它們相應的函數模型分別是指數型函數，二次函數，一次函數，和對數型函數模型．
當x=2時，f₁（2）=3，f₂（2）=4，∴命題①不正確；
當x=4時，f₁（5）=31，f₂（5）=25，∴命題②不正確；
根據四種函數的變化特點，對數型函數的變化是先快后慢，當x=1時甲、乙、丙、丁四個物體又重合，從而可知當0＜x＜1時，丁走在最前面，當x＞1時，丁走在最后面，
命題③正確；
指數函數變化是先慢后快，當運動的時間足夠長，最前面的動物一定是按照指數型函數運動的物體，即一定是甲物體，∴命題⑤正確．
結合對數型和指數型函數的圖象變化情況，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命題④正確．
故答案為：③④⑤．

點評：本題考查幾種基本初等函數的變化趨勢，關鍵是注意到對數函數、指數函數與冪函數的增長差異，屬于基礎題．