Question

（理科）已知函數f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若函數y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對任意的t∈[1，2]，若函數g(x)=x3+x2[f/(x)+

m

2

]在區間（t，3）上有最值，求實數m取值范圍；
（3）求證：ln（2²+1）+ln（3²+1）+ln（4²+1）+…+ln（n²+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N^*）
（文科） 已知函數f(x)=ax3+

1

2

x2-2x+c
（1）若x=-1是f（x）的極值點且f（x）的圖象過原點，求f（x）的極值；
（2）若g(x)=

1

2

bx2-x+d，在（1）的條件下，是否存在實數b，使得函數g（x）的圖象與函數f（x）的圖象恒有含x=-1的三個不同交點？若存在，求出實數b的取值范圍；否則說明理由．

Answer 1

分析：（理科）（1）先對函數f（x）進行求導，然后令導函數大于0（或小于0）求出x的范圍，根據f′（x）＞0求得的區間是單調增區間，f′（x）＜0求得的區間是單調減區間，即可得到答案．
（2））處的切線的傾斜角為45°，得到f′（2）=1求出a的值代入到 g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]中化簡，求出導函數，因為函數在（2，3）上總存在極值得到

g′(2)＜0 g′(3)＞0

解出m的范圍記即可；
（3）是近年來高考考查的熱點問題，即與函數結合證明不等式問題，常用的解題思路是利用前面的結論構造函數，利用函數的單調性，對于函數取單調區間上的正整數自變量n有某些結論成立，進而解答出這類不等式問題的解．
（文科）（1）根據f（x）的圖象過原點求出c，根據x=-1是f（x）的極值點，則f'（-1）=0，求出a，從而求出f（x）的解析式；
（2）根據x=-1是函數g（x）的圖象與函數f（x）的圖象的公共點建立f（-1）=g（-1），求出b與d關系，化簡g（x）=f（x）最后根據函數g（x）的圖象與函數f（x）的圖象恒有含x=-1的三個不同交點，求出b的范圍即可．

解答：解：（1） f′(x)=

a

x

-a(x＞0)，
當a＞0時，f（x）的單調增區間為（0，1]，減區間為[1，+∞）；
當a＜0時，f（x）的單調增區間為[1，+∞），減區間為（0，1]；
當a=0時，f（x）不是單調函數
（2）因為函數y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，
所以f′（2）=1，所以a=-2，f′(x)=

-2

x

+2，
g(x)=x3+x2[

m

2

+2-

2

x

]=x3+(

m

2

+2)x2-2x，g′（x）=3x²+（4+m）x-26
因為對于任意的t∈[1，2]，函數 g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]在區間（t，3）上
總存在極值，所以只需

g′(2)＜0 g′(3)＞0

，解得 -

37

3

＜m＜-9
（3）令a=-1（或a=1）
此時f（x）=-lnx+x-3，
所以f（1）=-2，
由（1）知f（x）=-lnx+x-3，在[1，+∞）上單調遞增，
∴當x∈（1，+∞）時f（x）＞f（1），即-lnx+x-1＞0，
∴lnx＜x-1對一切x∈（1，+∞）成立，
∵n≥2，n∈N^*，
則有 ln(

1

n2

+1)＜

1

n2

＜

1

(n-1)n

=

1

n-1

-

1

n

，
∴要證ln（2²+1）+ln（3²+1）+ln（4²+1）+…+ln（n²+1）＜1+2lnn!
即要證 ln(

1

22

+1)+ln(

1

32

+1)+ln(

1

42

+1)+…+ln(

1

n2

+1)＜1，
而 ln(

1

22

+1)+ln(

1

32

+1)+ln(

1

42

+1)+…+ln(

1

n2

+1)
＜1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

＜1．
（文科）（1）∵f（x）的圖象過原點
∴c=0，f'（x）=3ax²+x-2
∵x=-1是f（x）的極值點
∴f'（-1）=3a-1-2=0，解得a=1
∴f（x）=x³+

1

2

x²-2x
（2）∵x=-1是函數g（x）的圖象與函數f（x）的圖象的公共點
∴f（-1）=g（-1）即d=

1-b

2

f（x）=x³+

1

2

x²-2x=

1

2

bx²-x+

1-b

2

  化簡得（x²-1）（x-

1

2

+

b

2

）=0
∵函數g（x）的圖象與函數f（x）的圖象恒有含x=-1的三個不同交點
∴

1-b

2

≠±1
即b∈（-∞，-1）∪（-1，3）∪（3，+∞）

點評：此題是個難題．本題考查利用函數的導數來求函數的單調區間，已知函數曲線上一點求曲線的切線方程即對函數導數的幾何意義的考查，考查求導公式的掌握情況．含參數的數學問題的處理，構造函數求解證明不等式問題．以及考查學生創造性的分析解決問題的能力．