Question

【題目】一個多面體的直觀圖及三視圖如圖所示：（其中M，N分別是AF，BC的中點）．
（1）求證：MN∥平面CDEF；
（2）求多面體A﹣CDEF的體積．

Answer 1

【答案】
（1）解：由三視圖可知，該多面體是底面為直角三角形的直三棱柱ADE﹣BCF，

且AB=BC=BF=2，DE=CF=2 ，∴∠CBF= ．

證明：取BF的中點G，連接MG、NG，

由M，N分別為AF，BC的中點可得，NG∥CF，MG∥EF，

∴平面MNG∥平面CDEF，又MN平面MNG，

∴MN∥平面CDEF

（2）解：取DE的中點H．

∵AD=AE，∴AH⊥DE，

在直三棱柱ADE﹣BCF中，

平面ADE⊥平面CDEF，

平面ADE∩平面CDEF=DE．∴AH⊥平面CDEF．

∴多面體A﹣CDEF是以AH為高，以矩形CDEF為底面的棱錐，在△ADE中，AH= ．

S矩形CDEF=DEEF=4 ，

∴棱錐A﹣CDEF的體積為

V= S矩形CDEFAH= ×4 × =

【解析】由三視圖可知，該多面體是底面為直角三角形的直三棱柱ADE﹣BCF，且底面是一個直角三角形，由三視圖中所標數據易計算出三棱柱中各棱長的值．（1）取BF的中點G，連接MG、NG，利用中位線的性質結合線面平行的充要條件，易證明結論（2）多面體A﹣CDEF的體積是一個四棱錐，由三視圖易求出棱錐的底面面積和高，進而得到棱錐的體積．
【考點精析】掌握簡單空間圖形的三視圖和直線與平面平行的判定是解答本題的根本，需要知道畫三視圖的原則：長對齊、高對齊、寬相等；平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．