Question

【題目】設函數f（x）是定義在R上的偶函數，對任意x∈R，都有f（x+2）=f（x﹣2），且當x∈[﹣2，0]時，f（x）=（ ）x﹣1，若在區間（﹣2，6]內關于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）有3個不同的實數根，則a的取值范圍是（ ）
A.（1，2）
B.（2，+∞）
C.（1， ）
D.（ ，2）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：函數f（x）是定義在R上的偶函數，對任意x∈R，都有f（x+2）=f（x﹣2），
∴f（x﹣2）=f（x+2）=f（2﹣x），即f（x）=f（x+4），即函數的周期是4．
當 x∈[0，2]時，﹣x∈[﹣2，0]，此時f（﹣x）=（ ）﹣x﹣1=f（x），即f（x）=2x﹣1，
且當x∈[﹣2，0]時，f（x）=（ ）x﹣1．
分別作出函數f（x）（圖中黑色曲線）和y=loga（x+2）（圖中紅色曲線）圖象如圖：
由在區間（﹣2，6]內關于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）有3個不同的實數根，
可得函數f（x）和y=loga（x+2）圖象有3個交點，
故有 ，求得 ＜a＜2，
故選：D．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數奇偶性的性質的相關知識，掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．