Question

已知數列中，
（Ⅰ）求數列的通項；
（Ⅱ）求數列的前項和；
（Ⅲ）若存在，使得成立，求實數的最小值.

Answer 1

（Ⅰ）.
（Ⅱ）.
（Ⅲ）的最小值是.

試題分析：（Ⅰ），①
，②
①-②：，，        2分
即（），又=2，
時，數列是以2為首項，3為公比的等比數列.
，故           4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知當時，，
當時，；
當時,,①
,②
①-②得，
= 
=
，又也滿足
               9分
（Ⅲ），由（Ⅰ）可知：
當時，，令，
則，
又，∴
∴當時，單增，∴的最小值是
而時，，綜上所述，的最小值是
∴，即的最小值是         13分
點評：難題，為確定等差數列、等比數列的通項公式，往往通過建立相關元素的方程組，而達到目的。數列的求和問題，往往涉及“公式法”“分組求和法”“裂項相消法”“錯位相減法”等。涉及不等式恒成立問題，通過放縮、求和等，得到最值。