Question

已知點（x，y）在曲線C上，將此點的縱坐標變為原來的2倍，對應的橫坐標不變，得到的點滿足方程x²+y²=8；定點M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），直線l與曲線C交于A、B兩個不同點．
（1）求曲線C的方程；
（2）求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先設曲線C上任取一個動點P的坐標（x，y），然后根據題意（x，2y）在圓x²+y²=8上，整理即可解出曲線C的方程．
（2）設出直線l的方程，與C的方程聯立方程組，整理為一元二次方程，根據根的判別式△＞0，化簡求出m的范圍．

解答：解：（1）在曲線C上任取一個動點P（x，y），
則點（x，2y）在圓x²+y²=8上．
所以有x²+（2y）²=8．
整理得曲線C的方程為

x2

8

+

y2

2

=1．
（2）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m，
又KOM=

1

2

，
∴直線l的方程為y=

1

2

x+m．
由

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1.

，
得x²+2mx+2m²-4=0
∵直線l與橢圓交于A、B兩個不同點，
∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，
解得-2＜m＜2且m≠0．
∴m的取值范圍是-2＜m＜0或0＜m＜2．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，以及橢圓的方程問題．考查對知識的綜合運用能力，需要用到一元二次方程的根的判別式．本題屬于中檔題．