Question

已知向量

OP

=(cosx，sinx)，

OQ

=(-

3

3

sinx，sinx)，定義函數f(x)=

OP

•

OQ

．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值及相應的x值；
（2）當

OP

⊥

OQ

時，求x的值．

Answer 1

分析：（1）求f（x）的最小正周期和最大值及相應的x值；由題設條件可以看出，要先用數量積公式求出函數f（x）的表達式，再利用三角函數的相關公式進行整理變形，再根據化簡后的形式選用相應的公式求最值與周期以及取到最值時相應的x的值．
（2）由兩向量垂直可得f（x）=0，將表達式代入解三角函數方程，求角．

解答：解：（1）由題意f(x)=-

3

3

sinxcosx+sin2x=

1

2

-

3

3

(

1

2

sin2x+

3

2

cos2x)=

1

2

-

3

3

sin(2x+

π

3

)，
∴ω=2，T=|

2π

ω

|=π．
當x=kπ-

5π

12

，k∈Z時，f（x）取最大值

1

2

+

3

3

．
（2）當

OP

⊥

OQ

時，f（x）=0，即

1

2

-

3

3

sin(2x+

π

3

)=0，
故有sin(2x+

π

3

)=

3

2

解得2x+

π

3

=2kπ+

π

3

或  2x+

π

3

=2kπ+

2π

3

即x=kπ+

π

6

或x=kπ，k∈Z．

點評：本題是向量與三角相結合的一個題，此類題的特點一般是先用向量的相關知識建立起三角函數關系，再利用三角函數的相關公式變形為較簡單的形式，由三角函數的性質求解，本題考查轉化的能力，有較強的綜合性．