Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點，動點在橢圓上，且使得的點恰有兩個，動點到焦點的距離的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，以橢圓的長軸為直徑作圓，過直線上的動點作圓的兩條切線，設切點分別為，若直線與橢圓交于不同的兩點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由對稱知識有， ，又，求出，再寫出橢圓方程；（2）寫出圓的方程，設出點的坐標，寫出直線AB的方程，求出原點到直線的距離表達式，聯立直線AB方程和橢圓方程，求出 的表達式，利用單調性求出范圍。

試題解析;（1）

（2）圓的方程為，設直線上動點的坐標為，設， ，則直線的方程為，直線的方程為，又在直線和上，即，故直線的方程為.

由原點到直線的距離得，

聯立，消去得，設， ，

則，從而，

則，又設，

所以，設，

所以由得，

所以在上單調遞增，

即.