Question

中國跳水運動員進行10 m跳臺跳水訓練時，身體（看成一點）在空中的運動路線為如圖所示坐標系下經過原點O的一條拋物線（圖中標出的數據為已知條件）．在跳某個規定動作時，正常情況下，該運動員在空中的最高處距水面10m，入水處距池邊的距離為4 m，同時，運動員在距水面高度為5 m或5 m以上時，必須完成規定的翻騰動作，并調整好入水姿勢，否則就會出現失誤．
（1）求這條拋物線的解析式．
（2）在某次試跳中，測得運動員在空中的運動路線是（1）中的拋物線，且運動員在空中調整好入水姿勢時，距池邊的水平距離為3m，問此次跳水會不會失誤？并通過計算說明理由．
（3）要使此次跳水不至于失誤，該運動員按（1）中拋物線運行，且運動員在空中調整好入水姿勢時，距池邊的水平距離至多應為多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意先設出拋物線的方程，根據題意可知O，B的坐標和A的縱坐標，把（0，0）點代入拋物線方程求得c，點A的縱坐標求得a，b和c的關系把（2，-10）代入拋物線方程求得a，b令一關系式，聯立求得a和b，則拋物線方程可得．
（2）把x═3-2代入拋物線方程求得y，進而求得運動員距水面的高度，與5進行比較判斷出答案．
（3）當運動員在x軸上方，即y＞0的區域內完成動作并做好入水姿勢時，運動員很難做到．故可看當y＜0時，要使跳水不出現失誤y的范圍，進而利用二次函數的單調性求得x的范圍．
解答：解：（1）在給定的直角坐標系下，設最高點為A，入水點為B，拋物線的解析式為
y=ax²+bx+c．
由題意知，O、B兩點的坐標依次為（0，0）、（2，-10），且頂點A的縱坐標為，c=0，
所以有=，
4a+2b+c=-10．a=-，
解之得b=，c=0
或a=-，b=-2，c=0．
∵拋物線對稱軸在y軸右側，∴-＞0．
又∵拋物線開口向下，∴a＜0．
∴b＞0，后一組解舍去．
∴a=-，b=，c=0．
∴拋物線的解析式為y=-x²+x．
（2）當運動員在空中距池邊的水平距離為3m時，即x=3-2=時，
y=（-）×（）²+×=-，
∴此時運動員距水面的高為
10-=＜5．
因此，此次跳水會出現失誤．
（3）當運動員在x軸上方，即y＞0的區域內完成動作并做好入水姿勢時，當然不會失誤，但很難做到．
∴當y＜0時，要使跳水不出現失誤，
則應有|y|≤10-5，即-y≤5．
∴有x²-x≤5，
解得2-≤x≤2+．
∴運動員此時距池邊的距離至多為2+2+=4+m．
點評：本題主要考查了拋物線的應用，二次函數的性質，以及待定系數法求函數解析式問題．解題的關鍵是建立數學模型，把實際問題與數學問題相聯系．