Question

如圖1-2-9所示是某防空部隊進行射擊訓練時的示意圖，以O為極點，OA所在直線為極軸，已知A點坐標為(1,0)（千米），直升飛機位于D點向目標C發射防空導彈，D點坐標為(,)，該導彈運行與地面最大高度為3千米，相應水平距離為4千米(即圖中E點)，在地面O、A兩個觀測點測得空中固定目標C的仰角分別為α和β，tanα=，tanβ=，不考慮空氣阻力，導彈飛行軌道為一拋物線，那么按軌道運行的導彈能否擊中目標C?說明理由.

圖1-2-9

Answer 1

思路分析：能否擊中C點，關鍵是看一下C點是否在導彈飛行的軌跡上，需要算出它的軌跡方程來.先把極坐標化為直角坐標，然后建立直角坐標系：以地面為x軸，以點D向地面作的垂線為y軸,并且求出C點坐標，再驗證該點是否滿足軌跡方程.

解：A點化為(1,0)，D點化為(0,)，由已知E點為(4,3),

設拋物線為y=a(x-4)²+3.由拋物線過點(0,)，求得a=.所以y=(x-4)²+3=x²+x+.

設C點坐標為(x₀,y₀)，過C作CB⊥Ox于B，tanα=,tanβ=,則x₀=(x₀-1).

解得x₀＝7，求出y₀＝,即C點坐標為(7,)，經計算x₀²+x₀+=·7²+·7+=.

所以C點在拋物線上.故依軌道運行的導彈可以擊中目標C.