Question

假設某市2008年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價房，預計在今后的若干年內，該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%.另外，每年新建住房中，中低價房的面積均比上一年增加50萬平方米.那么，到哪一年底，
（1）該市歷年所建中低價房的累計面積（以2008年為累計的第一年）將首次不少于4 750萬平方米？
（2）當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%？（參考數據：1.08⁴≈1.36,1.08⁵≈1.47,
1.08⁶≈1.59)

Answer 1

（1）到2017年底，該市歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4 750萬平方米（2）到2013年底，當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%

（1）設中低價房的面積形成的數列為{a_n}，
由題意可知{a_n}是等差數列，
其中a₁=250,d=50,
則a_n=250+(n-1)·50=50n+200
S_n=250n+×50=25n²+225n,
令25n²+225n≥4 750,
即n²+9n-190≥0,而n是正整數，∴n≥10.
∴到2017年底，該市歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4 750萬平方米.
（2）設新建住房面積形成數列{b_n}，由題意可知{b_n}是等比數列，其中b₁=400,q=1.08,則b_n=400·(1.08)^n-1.
由題意可知a_n＞0.85b_n,
即50n+200＞400·(1.08)^n-1·0.85.
當n=5時，a₅﹤0.85b₅,
當n=6時，a₆＞0.85b₆,
∴滿足上述不等式的最小正整數n為6.
∴到2013年底，當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.