Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），在以坐標原點為極點、以軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程為，若直線與曲線交于、兩點.

（1）求線段的中點的直角坐標；

（2）設點是曲線上任意一點，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，再將直線的參數方程代入曲線的直角坐標方程，設、的參數分別為、，利用韋達定理求出線段中點對應的參數，代入直線的參數方程可求得點的直角坐標；

（2）利用弦長公式求得，求出圓心到直線的距離，由此可求得圓上的點到直線距離的最大值，利用三角形的面積公式可求得面積的最大值.

（1）將曲線的極坐標方程可化為，化為直角坐標方程得，

將直線的參數方程代入曲線的直角坐標方程得：，化簡得，

設、的參數分別為、，由韋達定理得：，于是.

設，則，

故點的直角坐標為；

（2）由（1）知：，，

所以，，

又直線的普通方程為，圓心到直線的距離為，圓的半徑.

所以，點到直線的距離的最大值為.

因此，面積的最大值為：.