Question

（本小題滿分12分）
已知斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面是正三角形，側(cè)面ABB₁A₁是菱形，且， M是A₁B₁的中點(diǎn)，

（1）求證：平面ABC；
（2）求二面角A₁—BB­1—C的余弦值。

Answer 1

（Ⅰ）見(jiàn)解析；  （Ⅱ）。

本試題抓喲是考查了面面垂直和二面角求解的綜合運(yùn)用。
（1）對(duì)于線面垂直的證明，一般利用線線垂直，通過(guò)判定定理得到線面垂直的證明，關(guān)鍵是
（2）建立合理的空間直角坐標(biāo)系，然后表示出平面的法向量，以及借助與向量與向量的夾角表示出二面角的平面角的求解的運(yùn)算。
（Ⅰ）∵側(cè)面是菱形且 ∴為正三角形
又∵點(diǎn)為的中點(diǎn) ∴ 
∵∥ ∴
由已知 ∴平面                         （4分）
（Ⅱ）（法一）連接，作于，連接

由（Ⅰ）知面，∴
又 ∴面 ∴
∴為所求二面角的平面角      （8分）
設(shè)菱形邊長(zhǎng)為2，則
在中，由知：
在中，   ∴
即二面角的余弦值為                    （12分）
（法二）如圖建立空間直角坐標(biāo)系

設(shè)菱形邊長(zhǎng)為2
得，
，
則，
，
設(shè)面的法向量，由,得
，令，得                        （8分）
設(shè)面的法向量， 由，得
,令，得                 （10分）
得.
又二面角為銳角，所以所求二面角的余弦值為     （12分）