Question

如圖，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD= 60°。

(1)求證：平面PBD⊥平面PAC；
(2)求點A到平面PBD的距離；
(3)求二面角B—PC—A的大小。(14分)

Answer 1

（1）略（2）（3）

(1) 證：…4分
(2) 解：連結PO，過A作AE⊥PO，平面PAC平面PBD=PO
∴AE⊥平面PBD，AE就是所求的距離，計算得……8分
(3) 解：過O作OF⊥PC，連BF，∵OB⊥平面PAC，由三垂線定理，PC⊥BF，
∴∠OFB為二面角B-PC-A的平面角，經計算得，，，
∴
∴,所求二面角大小為…14分
解法二：如圖,以A原點，AB為軸正方向，建立空間直角坐標系，則，，
過D作DE⊥AB于E，則DE=ADsin60°=， AE=ADcos60°=1，∴，，
(1)設是平面PBD的法向量，則，
又，∴令則，，∴
設是平面PAC的法向量,則，又，∴
∴令則，∴， ∵∴，∴平面PBD⊥平面PAC

(2)所求距離為
(3)設是平面PBC的法向量，則，
又,∴令則，，∴
，即二面角B-PC-A的大小為 .