Question

【題目】設函數，．

（）當時，求曲線在點處的切線方程．

（）求函數單調區間和極值點．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，的單調增區間為，無極值，當時，的單調增區間是和，單調減區間為，極大值為，極小值為．

【解析】試題分析：（1）當時，，,求出的值可得切點坐標，求出的值，可得切線斜率，利用點斜式可得曲線在點處的切線方程；（2）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間，結合函數的單調性，可得函數的極值點.

試題解析：（）當時，，，∴，，∴曲線在點處的切線方程為，即．

（）由得，

當時，，在上是單調遞增，無極值，

當時，令得或，令，得，∴在和上單調遞增，在上單調遞減，∴在時取得極大值，， 在時取得極小值，，綜上所述，當時，的單調增區間為，無極值，當時，的單調增區間是和，單調減區間為，極大值為，極小值為．

【方法點晴】本題主要考查利用導數求曲線切線方程以及利用導數研究函數的單調性與極值，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數，即在點 出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導數不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.