Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+x-xlnx（a＞0）．
（1）若函數(shù)滿(mǎn)足f（1）=2，且在定義域內(nèi)f（x）≥bx²+2x恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知，求得f（x）=x²+x-xlnx．將不等式f（x）≥bx²+2x轉(zhuǎn)化為1-

1

x

-

lnx

x

≥b．構(gòu)造函數(shù)g（x）=1-

1

x

-

lnx

x

，只需b≤g（x）min即可．因此又需求g（x）min．
（2）函數(shù)f（x）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，需f′（x）在定義域上恒非負(fù)或恒非正．考查f′（x）的取值情況，進(jìn)行解答．

解答：解：（1）∵f（1）=2，∴a=1，f（x）=x²+x-xlnx．由f（x）≥bx²+2x?1-

1

x

-

lnx

x

≥b．
令g（x）=1-

1

x

-

lnx

x

，可得g（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（x）min=g（1）=0，即b≤0．
（2）f′（x）=2ax-lnx（x＞0）．令f′（x）＞0，得2a≥

lnx

x

，
   令h（x）=

lnx

x

，當(dāng)x=e時(shí)，h（x）max=

1

e

∴當(dāng)a≥

1

2e

時(shí)，f′（x）＞0（x＞0）恒成立，此時(shí)．函數(shù)f（x）在定義域上單調(diào)遞增．
 若0＜a＜

1

2e

，g（x）=2ax-lnx，（x＞0），g′（x）=2a-

1

x

由g′（x）=0，得出x=

1

2a

，x∈(0，

1

2a

)，g′（x）＜0，x∈(

1

2a

，+∞)，g′（x）＞0，∴x=

1

2a

時(shí)，g（x）取得極小值也是最小值．而當(dāng)0＜a＜

1

2e

時(shí)，g（

1

2a

）=1-ln

1

2a

＜0，f′（x）=0必有根．f（x）必有極值，在定義域上不單調(diào)．
綜上所述，a≥

1

2e

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)故選的應(yīng)用，考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，掌握函數(shù)恒成立時(shí)所取的條件，是一道綜合題．