Question

(12分)如圖，在四棱錐中，底面，
，，是的中點．
（Ⅰ）求和平面所成的角的大小；
（Ⅱ）證明平面；
（Ⅲ）求二面角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）解：在四棱錐中，因底面，平面，故．

又，，從而平面．故在平面內的射影為，從而為和平面所成的角．
在中，，故．
所以和平面所成的角的大小為．
（Ⅱ）證明：在四棱錐中，
因底面，平面，故．
由條件，，面．又面，．
由，，可得．是的中點，，
．綜上得平面．
（Ⅲ）解：過點作，垂足為，連結．由（Ⅱ）知，平面，在平面內的射影是，則．
因此是二面角的平面角．由已知，得．設，得
，，，．
在中，，，則
．在中，．

略