Question

已知，命題：對任意，不等式恒成立；命題：存在，使得成立
（Ⅰ）若為真命題，求的取值范圍；
（Ⅱ）當，若且為假，或為真，求的取值范圍。
（Ⅲ）若且是的充分不必要條件，求的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）或；（Ⅲ）。

試題分析：（Ⅰ）∵對任意，不等式恒成立
∴.....................1分
即.........................2分
解得..............................3分
即為真命題時，的取值范圍是.......................4分
（Ⅱ）∵，且存在，使得成立
∴
即命題滿足................5分
∵且為假，或為真
∴、一真一假...........................6分
當真假時，則
，即.......................7分
當假真時，則
，即......................8分
綜上所述，或（也可寫為）......................9分
（Ⅲ）∵存在，使得成立
∴命題滿足...........................10分
∵是的充分不必要條件
∴.......................12分
點評：若恒成立，只需；若恒成立，則只需。