Question

已知動點A、B分別在x軸、y軸上,且滿足|AB|=2,點P在線段AB上,且=2.設點P的軌跡方程為C.

(1)求點P的軌跡方程C;

(2)若點M、N是曲線C上關于原點對稱的兩個動點,點Q的坐標為(,3),求△QMN的面積S的最大值.

Answer 1

解:(1)設點A、B、P的坐標分別為(a,0)、(0,b)、(x,y),

則即由|AB|=2,得a²+b²=4,

∴曲線C的方程為=1.

(2)設M(x₁,y₁),N(-x₁,-y₁),則|MN|=.

當x₁≠0時,設直線MN的方程為y=x,則點Q到直線MN的距離h=,

∴△QMN的面積S=·2·=|y₁-3x₁|.

∴S²=|y₁-3x₁|²=9x₁²+y₁²-9x₁y₁.

又∵=1,∴9x₁²+y₁²=4.∴S²=4-9x₁y₁.

而1=≥-2··=,

則-9x₁y₁≤4,即S²≤8,S≤2.

當且僅當=時,即x₁=y₁時,“=”成立.

當x₁=0時,|MN|=,△QMN的面積S=××=2.

∴S有最大值22.