Question

（本小題滿分12分） 設函數 
（1）求函數的單調區間；
（2）若當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍；
（3）若關于的方程在區間上恰好有兩個相異的實根，求實數的取值范圍。

Answer 1

（1）f(x)的單調增區間為（－2，－1）和（0，+∞），單調減區間（－1，0）和（－∞，－2）（2）m>e²－2（3）2－ln4<a≤3－ln9

因為
（1）令
或x>0，所以f(x)的單調增區間為（－2，－1）和（0，+∞）；…（3分）
令
的單調減區間（－1，0）和（－∞，－2）。……（4分）
（2）令（舍），由（1）知，f(x)連續，
    
因此可得：f(x)<m恒成立時，m>e²－2     （8分）
（3）原題可轉化為：方程a=(1+x)－ln(1+x)²在區間[0，2]上恰好有兩個相異的實根。

且2－ln4<3－ln9<1，∴的最大值是1，的最小值是2－ln4。
所以在區間[0，2]上原方程恰有兩個相異的實根時實數a的取值范圍是：
2－ln4<a≤3－ln9     ………………… （12分）