Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長為a，E為棱CC₁上的動點．
（1）求證：A₁E⊥BD；
（2）當E恰為棱CC₁的中點時，求證：平面A₁BD⊥平面EBD；
（3）在（2）的條件下，求VA1- BDE．

Answer 1

分析：（1）連AC，A₁C₁，根據正方體的幾何特征，可得AA₁⊥BD，AC⊥BD，由線面垂直的判定定理，可得BD⊥平面ACC₁A₁，再根據線面垂直的性質，即可得到BD⊥A₁E．
（2）設AC∩BD=O，則O為BD的中點，連A₁O，EO，結合（1）的結論，可得∠A₁EO即為二面角A₁-BD-E的平面角，解三角形A₁EO，可以求出為二面角A₁-BD-E為直二面角，即平面A₁BD⊥平面EBD；
（3）由（2）得A₁O⊥平面BDE，求出棱錐的底面面積和棱錐高，代入錐棱的體積公式，即可求出答案．

解答：證明：（1）連AC，A₁C₁．∵正方體AC₁中，AA₁⊥平面ABCD，∴AA₁⊥BD．
∵正方形ABCD，AC⊥BD且AC∩AA₁=A．∴BD⊥平面ACC₁A₁ 且E∈CC₁．∴A₁E?平面ACC₁A₁．∴BD⊥A₁E．
（2）設AC∩BD=O，則O為BD的中點，連A₁O，EO．
由（1）得BD⊥平面A₁ACC₁，∴BD⊥A₁O，BD⊥EO．
∴∠A₁OE即為二面角A₁-BD-E的平面角．
∵AB=a，E為CC₁中點，∴A₁O=

6

2

a，EO=

3

2

a，A₁E=

3

2

a．
∴A₁O²+OE²=A₁E²．∴A₁O⊥OE．∴∠A₁OE=90°．
∴平面A₁BD⊥平面BDE．
（3）由（2）得A₁O⊥平面BDE 且A₁O=

6

2

a，
又S△BDE=

6

4

a2，
∴V=

1

3

Sh=

1

4

a3﹒

點評：本題考查的知識點是線面垂直的性質，平面與平面垂直的判定，棱錐的體積，其中（1）、（2）的關鍵是熟練掌握空間線線、線面及面面之間位置關系的轉化，（3）的關鍵是求出棱錐的底面面積及高的長．