Question

如圖所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面積（m²）與時間x（月）的關系：y=a^x，有以下敘述：
①這個指數函數的底數是2；
②第5個月的浮萍的面積就會超過30m²；
③浮萍從4m²蔓延到12m²需要經過1.5個月；
④浮萍每個月增加的面積都相等；
⑤若浮萍蔓延到2m²、3m²、6m²所經過的時間分別為x₁，x₂，x₃，則x₁+x₂=x₃．
其中正確的是（　　）

• A、①②
• B、①②⑤
• C、①②③④
• D、②③④⑤

Answer 1

分析：本題考查的是函數模型的選擇和應用問題．在解答時，首先應該仔細觀察圖形，結合圖形讀出過的定點進而確定函數解析式，結合所給月份計算函數值從而獲得相應浮萍的面積進而對問題作出判斷，至于第⑤要充分結合對數運算的運算法則進行計算驗證．

解答：解：∵點（1，2）在函數圖象上，
∴2=a¹∴a=2，故①正確；
∴函數y=2^t在R上是增函數，且當t=5時，y=32故②正確，
4對應的t=2，經過1.5月后面積是2^3.5＜12，故③不正確；
如圖所示，1-2月增加_²m²，2-3月增加4m²，故④不正確．
對⑤由于：2=2 x1，3=2 x 2，6=2 x3，
∴x₁=1，x₂=log₂³，x₃=log₂⁶，
又因為1+log₂³=log₂²+log₂³=log₂^2×3=log₂⁶，
∴若浮萍蔓延到2m²、3m²、6m²所經過的時間分別為x₁，x₂，x₃，則x₁+x₂=x₃成立．
故答案為：①②⑤．

點評：本題考查的是函數模型的選擇和應用問題、數形結合法．在解答的過程當中充分體現了觀察圖形、分析圖形和利用圖形的能力，同時對數求值和對數運算的能力也得到了體現．