【題目】設函數
， 
.
（1）討論
的單調性；
（2）當
時，記
的最小值為
，證明： 
.
【答案】（1）見解析；（2）見解析.
【解析】試題分析：（1）函數
的定義域為
，對函數
求導得
，對實數
分
分兩種情況討論，得出單調性；（2）由（1）知， 
， 
， 
，所以
單調遞減，又
， 
，所以存在
，使得
，當
時， 
， 
單調遞增；當
時， 
， 
單調遞減；所以
，再證明出
。
試題解析（1）
的定義域為
，
，
當
時， 
， 
在
上單調遞增；
當
時，當
， 
， 
單調遞減；
當
， 
， 
單調遞增；
綜上，當
時， 
在
上單調遞增；
當
時， 
在
上單調遞減，在
上單調遞增.
（2）由（1）知， 
，
即
.
解法一： 
， 
，
∴
單調遞減，
又
， 
，所以存在
，使得
，
∴當
時， 
， 
單調遞增；
當
時， 
， 
單調遞減；
∴
，又
，即
， 
，
∴
，令
，則
在
上單調遞增，
又
，所以
，∴
.
解法二：要證
，即證
，即證： 
，
令
，則只需證
，
，
當
時， 
， 
單調遞減；
當
時， 
， 
單調遞增；
所以
，
所以
，即
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】搶“微信紅包”已經成為中國百姓歡度春節時非常喜愛的一項活動．小明收集班內20名同學今年春節期間搶到紅包金額
（元）如下（四舍五入取整數）：
102 52 41 121 72
162 50 22 158 46
43 136 95 192 59
99 22 68 98 79
對這20個數據進行分組，各組的頻數如下：
（Ⅰ）寫出m，n的值，并回答這20名同學搶到的紅包金額的中位數落在哪個組別；
（Ⅱ）記C組紅包金額的平均數與方差分別為
、
，E組紅包金額的平均數與方差分別為
、
，試分別比較
與
、
與
的大小；（只需寫出結論）
（Ⅲ）從A，E兩組所有數據中任取2個，求這2個數據差的絕對值大于100的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱柱
中，側棱
底面
， 
為棱
中點． 
， 
， 
．
（I）求證： 
平面
．
（II）求證： 
平面
．
（III）在棱
的上是否存在點
，使得平面
平面
？如果存在，求此時
的值；如果不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某農場計劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個品種（分別稱為品種甲和品種乙）進行田間試驗．選取兩大塊地，每大塊地分成
小塊地，在總共
小塊地中．隨機選
小塊地種植品種甲，另外
小塊地種植品種乙．
（
）假設
，求第一大塊地都種植品種甲的概率．
（
）試驗時每大塊地分成
小塊．即
，試驗結束后得到品種甲和品種乙在各個小塊地上的每公頃產量（單位
）如下表：
品種甲 |
|
|
|
|
|
品種乙 |
|
|
|
|
|
分別求品種甲和品種乙的每公頃產量的樣本平均數和樣本方差；根據試驗結果，你認為應該種植哪一品種？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數g(x)＝Acos(ωx＋φ)＋B的部分圖象如圖所示，將函數g(x)的圖象保持縱坐標不變，橫坐標向右平移
個單位長度后得到函數f(x)的圖象．求：
(1)函數f(x)在
上的值域；
(2)使f(x)≥2成立的x的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司計劃購買1臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數,得下面柱狀圖：
記x表示1臺機器在三年使用期內需更換的易損零件數,y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用（單位：元）, 
表示購機的同時購買的易損零件數.
（Ⅰ）若
=19,求y與x的函數解析式；
（Ⅱ）若要求“需更換的易損零件數不大于
”的頻率不小于0.5,求
的最小值；
（Ⅲ）假設這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件,或每臺都購買20個易損零件,分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數,以此作為決策依據,購買1臺機器的同時應購買19個還是20個易損零件？
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