Question

已知直線方程為（2+m）x+（1-2m）y+4-3m=0．
（Ⅰ）證明：直線恒過定點M；
（Ⅱ）若直線分別與x軸、y軸的負半軸交于A，B兩點，求△AOB面積的最小值及此時直線的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直線方程按m集項，方程恒成立，得到方程組，求出點的坐標，即可證明：直線恒過定點M；
（Ⅱ）若直線分別與x軸、y軸的負半軸交于A，B兩點，說明直線的斜率小于0，設出斜率根據直線過的定點，寫出直線方程，求出△AOB面積的表達式，利用基本不等式求出面積的最小值，即可得到面積最小值的直線的方程．

解答：（Ⅰ）證明：（2+m）x+（1-2m）y+4-3m=0化為（x-2y-3）m=-2x-y-4．（3分）
由

x-2y-3=0 -2x-y-4=0

得

x=-1 y=-2

∴直線必過定點（-1，-2）．（6分）
（Ⅱ）解：設直線的斜率為k（k＜0），則其方程為y+2=k（x+1），
∴OA=|

2

k

-1|，OB=|k-2|，（8分）
S_△AOB=

1

2

•OA•OB=

1

2

|（

2

k

-1）（k-2）|=

1

2

|-

(k-2)2

k

|..（10分）
∵k＜0，∴-k＞0，
∴S_△AOB=

1

2

[-

(k-2)2

k

]=

1

2

[4+（-

4

k

）+（-k）]≥4．
當且僅當-

4

k

=-k，即k=-2時取等號．（13分）
∴△AOB的面積最小值是4，（14分）
直線的方程為y+2=-2（x+1），即y+2x+4=0．（15分）

點評：本題是中檔題，考查直線恒過定點的知識，三角形面積的最小值的求法，基本不等式的應用，考查計算能力，轉化思想的應用．