Question

已知函數f（x）=x³-x²+ax+b的圖象在點P（0，f（0））處的切線方程為y=3x-2。
（I）求實數a，b的值；
（Ⅱ）設g（x）=f（x）+是[2，+∞）上的增函數。
 （i）求實數m的最大值；
 （ii）當m取最大值時，是否存在點Q，使得過點Q的直線若能與曲線y=g（x）圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等？若存在，求出點Q 的坐標；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）由，f′（x）=x²-2x+a及題設得
即；
（Ⅱ）（i）由得
∵g（x）是[2，+∞）上的增函數
∴g'（x）≥0在[2，+∞）上恒成立
即在恒成立
設（x-1）²=t
∵x∈[2，+∞）
∵t∈[1，+∞）
即不等式在恒成立
所以m≤t²+2t在[1，+∞）上恒成立
令y=t²+2t，t∈[1，+∞）
可得y_min=3，故m≤3，即m的最大值為3；
（ii）由（i）得
將函數g（x）的圖像向左平移1個長度單位，再向下平移個長度單位，所得圖像相應的函數解析式為
x∈（-∞，0）（0，+∞）
由于φ（-x）=-φ（x），所以φ（x）為奇函數，故φ（x）的圖象關于坐標原點成中心對稱，由此即得，函數g（x）的圖象關于點成中心對稱
這也就表明，存在點使得過點Q的直線若能與函數g（x）的圖象圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等。