Question

外貿運動鞋的加工生產中，以美元為結算貨幣，依據數據統計分析，若加工產品訂單的金額為x萬美元，可獲得加工費近似地為

1

2

ln（2x+1）萬美元，由于生產加工簽約和成品交付要經歷一段時間，收益將因美元貶值而損失mx萬美元，其中m∈（0，1）為該時段美元的貶值指數，從而實際所得的加工費為f（x）=

1

2

ln（2x+1）-mx萬美元．
（Ⅰ）若美元貶值指數m=

1

200

，為確保實際所得加工費隨x的增加而增加，加工產品訂單的金額x應在什么范圍內？
（Ⅱ）若加工產品訂單的金額為x萬美元時共需要的生產成本為p=

1

20

x萬美元，已知加工生產能力為x∈[10，20]（其中x為產品訂單的金額），試問美元的貶值指數m為何范圍時，加工生產將不會出現虧損（即當x∈[10，20]時，都有f（x）≥p成立）．

Answer 1

（Ⅰ）由已知m=

1

200

，
f(x)=

1

2

ln(2x+1)-

1

200x

，其中x＞0．
所以f′(x)=

1

2x+1

-

1

200

=

199-2x

200(2x+1)

．
由f′（x）＞0，即199-2x＞0，
解得0＜x＜99.5．
即加工產品訂單的金額x∈（0，99.5）（單位：萬美元）時，實際所得加工費隨x的增加而增加．
（Ⅱ）依題意，企業加工生產不出現虧損，則當x∈[10，20]時，都有
f(x)=

1

2

ln(2x+1)-mx≥

1

20

x．
可得

1

20

+m≤

ln(2x+1)

2x

．
令g(x)=

ln(2x+1)

2x

，x∈[10，20]．
則g′(x)=

2 2x+1 x-ln(2x+1)

2x2

=

2x-(2x+1)ln(2x+1)

2x2(2x+1)

．
令h（x）=2x-（2x+1）ln（2x+1）．
則h′(x)=2-[2ln(2x+1)+(2x+1)•

2

2x+1

]=-2ln（2x+1）＜0．
可知h（x）在區間[10，20]上單調遞減，h（x）最小值為h（20）=40-41ln41＜0，
最大值為h（10）=20-21ln21＜0，所以當x∈[10，20]時，g′（x）＜0，g（x）在區間[10，20]上單調遞減，
因此g(x)min=

ln41

40

，即m≤

ln41

40

-

1

20

．
故當美元的貶值指數m∈(0，

ln41-2

40

)時，加工生產不會虧損．