Question

設函數f(x)=

1

x+1

，點A₀表示原點，點A_n（n，f（n））（n∈N^*），θ_n是向量

a

與向量

i

=(1，0)的夾角，

an

=

A0A1

+

A1A2

+

A2A3

+…+

An-1An

，設S_n=tanθ₁+tanθ₂+tanθ₃+…+tanθ_n，則

lim

n→∞

Sn=

1

．

Answer 1

分析：利用向量求和知識向量化簡為=

.

A0

An，利用向量夾角概念可得tanθn=

f(n)

n

=

1

n×(n+1)

，再利用數列裂項相消求和知識及極限運算法則可得解．

解答：解：由向量求和知

an

=

A0A1

+

A1A2

+

A2A3

+…+

An-1An

=

.

A0

An
∵函數f(x)=

1

x+1

，點A₀表示原點，點A_n（n，f（n））（n∈N^*），θ_n是向量

a

與向量

i

=(1，0)的夾角，
∴tanθn=

f(n)

n

=

1

n×(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=tanθ₁+tanθ₂+tanθ₃+…+tanθ_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

∴

lim

n→∞

Sn=1
故答案為1．

點評：本題的考點是數列的極限，主要考查向量與極限結合的綜合．涉及向量運算的多邊形法則及向量夾角概念．考查數列求和的裂項相消方法及極限運算法則，有一定的綜合性．